Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach quick dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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This version reproduces the 2d corrected printing of the 3rd version of the now vintage notes by way of Professor Serre, lengthy demonstrated as one of many typical introductory texts on neighborhood algebra. Referring for historical past notions to Bourbaki's "Commutative Algebra" (English version Springer-Verlag 1988), the booklet focusses at the a number of size theories and theorems on mulitplicities of intersections with the Cartan-Eilenberg functor Tor because the vital idea.

Topics in Algebra, Second Edition

New version comprises large revisions of the cloth on finite teams and Galois conception. New difficulties extra all through.

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Dabei sind zwei Eigenschaften der beteiligten Objekte entscheidend: • Zum einen ist die durch das Polynom definierte Funktion stetig, besitzt also keine Sprungstelle, sondern verändert ihren Wert überall weniger als jede vorgegebene Obergrenze, sofern die Änderung des Arguments x entsprechend eingegrenzt wird. Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 33 • Zum anderen besitzt der Zahlbereich der reellen Zahlen keine "Lücken", wie es beispielsweise bei den rationalen Zahlen der Fall ist: Zwar können durchaus zu jeder Position auf dem Zahlenstrahl unendlich viele rationale Zahlen gefunden werden, die beliebig nahe bei dieser vorgegebenen Zahl liegen, jedoch gibt es trotzdem Grenzwertprozesse, die aus dem Bereich der rationalen Zahlen herausführen.

Lagranges universelle Konstruktion führt für dieses Beispiel zur Gleichung (Z-HX ,X2 + X3 X4 )+S)(z-Hx 1 X3 + X2 X4 )+S)(z-Hx 1 X4 + X2 X3 ) +s) = 0, wobei zur Abkürzung Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln 47 gesetzt wurde. Multipliziert man die drei Linearfaktoren miteinander, erhält man - nun aber auf einem allgemein beschreitbaren Weg - wieder die schon aus Kapitel 3 bekannte kubischen Resolvente. Nicht nur in diesem speziellen Fall, sondern auch allgemein findet man mit Lagranges Konstruktion eine Gleichung für die Unbekannte z, bei der die Koeffizienten Polynome in den Variablen XJ.

La ,llzl + laol $ (lan - II + .. +Ia,l +laoD Izln-I $ (tR)lzln-1 $ t lzl". Wir wollen uns nun überlegen , wie die Bewegung einer komplexen Zahl z auf einem Kreis mit Radius R um den Nullpunkt durch das Polynom fez) transformiert wird. Bei dem Anteil zn ist alles klar, da aufgrund der Moivre' chen Formel ein Umlauf auf dem Kreis mit Radius R in n Umläufe auf dem Kreis mit dem Radius Rn um den Nullpunkt abgebildet wird (im mittleren Teil von Bild 7 ist die er Kreis durchgezogen dargestellt). Die restlichen Terme des Polynoms verändern dieses Ergebnis, wie wir eben gesehen haben, ver- Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 35 gleich weise wenig, so dass es beim Funktionswert f(z) zu einem n-maligen Umlauf innerhalb eines Kreisrings mit 0 als Zentrum und dem Innenradius 1- R n sowie dem Außenradius ~ R n kommt (im mittleren Teil von Bild 7 sind beispielhaft zwei Begrenzungskreise für die restlichen Terme dargestellt; der begrenzende Kreisring ist sowohl im mittleren wie im rechten Teilbild gestrichelt eingezeichnet).

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