Algebra II by Heinz-Georg Quebbemann

By Heinz-Georg Quebbemann

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Algebre Locale, Multiplicites. Cours au College de France, 1957 - 1958

This variation reproduces the 2d corrected printing of the 3rd variation of the now vintage notes by way of Professor Serre, lengthy validated as one of many common introductory texts on neighborhood algebra. Referring for historical past notions to Bourbaki's "Commutative Algebra" (English variation Springer-Verlag 1988), the ebook focusses at the a variety of measurement theories and theorems on mulitplicities of intersections with the Cartan-Eilenberg functor Tor because the valuable inspiration.

Topics in Algebra, Second Edition

Re-creation contains wide revisions of the cloth on finite teams and Galois conception. New difficulties additional all through.

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Gilt dim C = k und d(C) ≥ 2e + 1, so enth¨alt die Vereinigung aller Kugeln B(c, e) ⊂ Fnq mit c ∈ C genau q k ωq (n, e) Elemente; diese Zahl kann h¨ochstens q n sein, also gilt die Hamming-Schranke n − k ≥ logq ωq (n, e). Codes, die diese Schranke erreichen, also mit Fnq = c∈C B(c, e), heißen perfekt. Bemerkung. Die Hamming-Codes H(m) sind perfekt. Denn sie haben n − k = m, d = 3, ωq (n, 1) = 1 + n(q − 1) = q m . Definition. Der lineare Code C heißt zyklisch, wenn er mit jedem Wort c = (c0 , c1 , .

H. f teilt (e − 1)e und ist dann, weil quadratfrei, das Produkt der Polynome ggT(e − 1, f ) und ggT(e, f ). Der euklidischen Algorithmus liefert ggT(e, f ) = t11 + t9 + t7 + t6 + t5 + t + 1. Dieses Polynom muss f1 oder f5 sein; nach eventuellem Austausch von ζ gegen ζ −1 ist es f1 . Was wissen wir nun u ¨ber die Parameter des Codes? 2). Das Erzeugerpolynom 38 repr¨asentiert ein spezielles Codewort mit dem Gewicht 7, liefert also d(G23 ) ≤ 7. Im Allgemeinen l¨asst sich der wahre Minimalabstand eines zyklischen Codes nicht an seinem Erzeugerpolynom ablesen, aber man kann (etwa mit dem Computer) u ¨berpr¨ ufen, dass er f¨ ur G23 tats¨achlich 7 ist.

1) F¨ ur eine Potenz q = pe mit e > 1 ist der Ring Z/qZ bekanntlich kein K¨orper, in diesem Fall ist also Fq nicht Z/qZ. 7 folgt: F¨ ur jedes e ∈ Z>0 existieren irreduzible Polynome vom Grad e u ¨ber Fp . Mit q = pe , F∗q = < α >, also Fq = Fp (α), ist n¨amlich das Minimalpolynom gα ∈ Fp [t] ein solches Polynom. 3) Es liegt nahe, Fq mit Hilfe eines irreduziblen g ∈ Fp [t] als Restklassenk¨orper Fp [t]/gFp [t] zu konstruieren. A. viele Wahlm¨oglichkeiten f¨ ur g hat (aber bei festem Grad immer der ”gleiche” K¨orper herauskommt).

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