Angewandte Mathematik: Body and Soul: Band 2: Integrale und by Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle

By Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle

"Angewandte Mathematik: physique & Soul" ist ein neuer Grundkurs in der Mathematikausbildung f?r Studienanf?nger in den Naturwissenschaften, der Technik, und der Mathematik, der an der Chalmers Tekniska H?gskola in G?teborg entwickelt wurde. Er besteht aus drei B?nden sowie Computer-Software. Das Projekt ist begr?ndet in der Computerrevolution, die ihrerseits v?llig neue M?glichkeiten des wissenschaftlichen Rechnens in der Mathematik, den Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen er?ffnet hat. Es besteht aus einer Synthese der mathematischen research (Soul) mit der numerischen Berechnung (Body) sowie den Anwendungen. Die B?nde I-III geben eine moderne model der research und der linearen Algebra wieder, einschlie?lich konstruktiver numerischer Techniken und Anwendungen, zugeschnitten auf Anf?ngerprogramme im Maschinenbau und den Naturwissenschaften. Weitere B?nde behandeln Themen wie z.B. dynamische Systeme, Str?mungsdynamik, Festk?rpermechanik und Elektromagnetismus. Dieser Band entwickelt das Riemann-Integral, um eine Funktion zu einer gegebenen Ableitung zu bestimmen. Darauf aufbauend werden Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme mit einer Vielzahl anschaulicher Anwendungen behandelt. Die lineare Algebra wird auf n-dimensionale R?ume verallgemeinert, wobei wiederum dem praktischen Umgang und numerischen L?sungstechniken besonderer Platz einger?umt wird. Die Autoren sind f?hrende Experten im Gebiet des wissenschaftlichen Rechnens und haben schon mehrere erfolgreiche B?cher geschrieben. "[......] Oh, incidentally, I recommend speedy buy of all 3 volumes!" The Mathematical organization of the USA  Online, 7.7.04

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Diese Alternativen m¨ogen gewisse Vorteile haben und wir werden auf sie im Kapitel Numerische Qua” dratur“ zur¨ uckkommen. Der Beweis des Fundamentalsatzes ist mit diesen alternativen Konstrukten prinzipiell gleich und wegen der Eindeutigkeit ergeben alle diese alternativen Konstruktionen dasselbe Ergebnis. 2) modelliert wird, ist ein Radfahrer auf einer Geraden, wobei u(x) der momentanen Position zur Zeit x entspricht, u (x) der Geschwindigkeit zur Zeit x und u(a) = ua der Anfangsposition zur Startzeit x = a.

Erkl¨ gen angegeben sind. 10. L¨ osen Sie das Anfangswertproblem u (x) = f (x) f¨ ur x ∈ (0, 2], u(0) = 1, mit f (x) = 1 f¨ ur x ∈ [0, 1) und f (x) = 2 f¨ ur x ∈ [1, 2]. Zeichnen Sie einen Graphen f¨ ur die L¨ osung und berechnen Sie u(3/2). Zeigen Sie, dass f (x) nicht Lipschitz-stetig auf [0, 2] ist und bestimmen Sie, ob u(x) auf [0, 2] Lipschitz-stetig ist. 11. Ein Lichtstrahl ben¨ otigt die Zeit t = c/n , um einen K¨ orper zu durchdringen, wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist; n ist der Brechungsindex des K¨ orpers und d ist seine Dicke.

Wir wollen beweisen, dass dies eine Cauchy-Folge ist und dazu wollen wir |U n (¯ x) − U m (¯ x)| f¨ ur m > n absch¨ atzen. Wir beginnen mit der Absch¨ atzung der Differenz |U n (¯ x)−U n+1 (¯ x)| zweier aufeinander folgender Indizes n und m = n + 1. Wir erhalten U n (xni ) = U n (xni−1 ) + f (xni−1 )hn . n = xni und xn+1 Da xn+1 2i 2i−2 = xi−1 folgt n+1 n+1 U n+1 (xni ) = U n+1 (xn+1 (x2i−1 ) + f (xn+1 2i ) = U 2i−1 )hn+1 n+1 = U n+1 (xni−1 ) + f (xn+1 2i−2 )hn+1 + f (x2i−1 )hn+1 . , da hn+1 = 12 hn : eni − eni−1 = (f (xni−1 ) − f (xn+1 2i−1 ))hn+1 .

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