Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie by Bernhard Riemann

By Bernhard Riemann

In diesem Werk wird einer der klassischen Texte der Mathematik umfassend historisch, mathematisch, physikalisch und philosophisch von Jürgen Jost ausführlich kommentiert und die gesamte Entwicklung dieser Disziplinen eingeordnet. Neben dem Urtext wird auch der historisch wichtige Kommentarteil von Hermann Weyl wiedergegeben.

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Weil die Gaußsche Krümmung eine Biegungsinvariante ist, folgt aus den für Ebene und Kugel verschiedenen Werten von K also, dass sich eine ebene Fläche nicht dehnungsfrei in eine kugelförmige Gestalt bringen lassen kann. 44 Gauß hat dann auch eine Beziehung zwischen der Winkelsumme in einem Dreieck aus kürzesten Linien auf einer Fläche und dem Integral von K über dieses Dreieck aufgestellt (theorema elegantissimum). Hier besteht dann ein direkter Zusammenhang zur nichteuklidischen Ebene. Diese ist nichts anderes als die innere Geometrie einer Fläche konstanter negativer Krümmung, und die Winkelsumme in einem Dreieck ist daher kleiner als 180 Grad.

Von der Gestalt der Fläche im Raum ab. Gauß leitet dann aber den bemerkenswerten Satz (sog. Theorema egregium) her, dass das Produkt K = k  ⋅ k  nicht mehr von dieser Lage abhängt, somit eine Größe der inneren Geometrie ist. Insbesondere ist die Gaußsche Krümmung damit eine biegungsinvariante Größe, ändert sich also nicht, wenn man die Fläche ohne Dehnungen oder Stauchungen verbiegt. Beispielsweise lässt sich ein Blatt Papier zu einem Zylinder oder einer kegelförmigen Tüte aufrollen, und dies verändert nicht die Gaußsche Krümmung, welche in diesem Falle 0 ist und bleibt.

Der euklidische Raum besitzt also eine metrische Struktur, die in dem cartesischen Konzept als solchem noch nicht vorhanden ist, während der cartesische Raum eine Koordinatenfestlegung besitzt, die im euklidischen Konzept nicht vorausgesetzt ist. Die klare Trennung von geometrischen Sachverhalten und ihren verschiedenen Beschreibungsmöglichkeiten in unterschiedlichen Koordinatensystemen ist dann gerade eine der wesentlichen Leistungen Riemanns. 35 Die Frage, ob es berechtigt ist, dem Vakuum die geometrische Gestalt des euklidischen Raumes zuzuschreiben, führt in die moderne Physik, welche erst weiter unten dargestellt wird.

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